Functionaalanalyse (voorjaar 2001)

Data: vrijdags, 13.45-16.30, 9-2,16-2,23-2,2-3,9-3,16-3,23-3,6-4,13-4,4-5,11-5,18-5.
Boek: Basic Operator Theory-I. Gohberg and S. Goldberg (Birkhauser, ISBN 3-7643-3028-7)
Toetsing: het eindcijfer wordt vastgesteld op basis van de cijfers voor het ingeleverde huiswerk, of evt na een mondeling tentamen.

Behandeld/programma

10-2/16-2: Inleiding, Banach contractiestelling met toepassing op beginwaardeproblemen voor differentiaalvergelijkingen (XII, Thms 1.1,2.1,2.2), Banachruimten en voorbeelden (IX.1), kleine en grote l p ruimten, bewijs van Holder's omgelijkheid en driehoeksongelijkheid. Algemene theorie ((IX.2): equivalente normen, in eindig dimensionale ruimten zijn alle normen equivalent. Iedere begrensde rij heeft een convergente deelrij als de ruimte eindig dimensionaal is. In oneindig dimensionale ruimten is dit nooit zo.
23-2/2-3: Eindig versus oneindig dimensionaal vervolg. Greense functies als voorbeeld van integraaloperatoren. Begin Hilbertruimten (I.1,2,3,4). Projecties op gesloten convexe verzamelingen, orthonormaal complement, orthonormale bases voor separabele Hilbertruimten, voorbeelden (Fourierreeksen, Legendre polynomen) (I.8-14).
9-3/16/3: Begrensde lineaire operatoren in Hilbertruimten (II.1), oneindige matrices, integraaloperatoren (II.2, andere voorbeelden zelf lezen). Continuiteit (II.3) en matrixrepresentatie (II.4). Inverteerbaarheid van operatoren met meetkundige reeksen (II.8) in de Banach-algebra L(H) van begrensde lineaire operatoren op H (zie IX.1, vb 7), exp(A) met A in L(H) als machtreeks. Differentiaaloperatoren zijn niet begrensd. Riesz representatiestelling voor begrensde functionalen (II.5). Kern van een begrensde lineaire functionaal is een gesloten hyperoppervlak. Identificatie van H met zijn duaal. Toepassing op zwakke formulering van -u''(x)=f(x) met u(0)=u(1)=0 en soortgelijke problemen (niet in het boek, zie echter het boek Functionaalanalyse van Brezis).
Het college van 23 maart is verplaatst naar 27 maart, zelfde tijd, zaal R2.23
27-3: Eindige rang operatoren K (II.6), determinantconditie voor inverteerbaarheid van I-K (II.7). Inverteerbaarheid van verstoringen van inverteerbare operatoren (II.8) (weer met meetkundige reeksen). Toepassing op l^2 matrices (II.9). De geadjungeerde operator van A (II.11). Verbanden tussen kernen en beelden van A en A*. Zelfgeadjungeerde operatoren (II.12). Begin eigenwaarden/vectoren theorie (spectraaltheorie) (II.Thm 4.1 en 4.3).
6-4: Verbanden tussen kernen en beelden van A en A* (II, Thm 11.4). Invariante deelruimten (alleen Thm 15.1). Orthogornale projecties (II, Thm. 13.1) Kompakte operatoren (II, Thm 14.1 en 14.3, Example 1). Spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde kompakte operatoren (Thm 4.4 en 5.1).
Er is ook college op 27 april, zelfde tijd, zaal R2.23
27-4: Vervolg spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde kompakte operatoren (6.1, Thms 6.2, 7.1 and 9.1).

4-5:  Toepassing van de theorie tot nu toe op integraaloperatoren. I.14, functies op een vierkant. II.2, voorbeeld 5: normafschatting voor integraaloperator. II.4, voorbeeld 3: matrix representatie.II.7,  voorbeeld pg 68 als toepassing van Thm 7.1. II.10, toepassing op integraalvergelijkingen van inverse met meetkundige reeks met voorbeeld. II.Thm 11.2, geadjungeerde integraaloperator. II.14, voorbeeld 3: kompaktheid integraaloperatoren. III.1, voorbeeld.

11-5:  Hoofdstuk IV: spectraaltheorie voor integraaloperatoren. IV.1, Thm 1.1 (Hilbert-Schmidtstelling), Tm 1.2 (Verband tussen 2-norm van de kern en de 2-norm van de rij van eigenwaarden van een zelfgeadjungeerde integraaloperator). IV.2, Lemma 2.1,2.2, Thm 2.3. IV.3, Thm 3.1 (reconstructie van de integraalkern van een positieve integraaloperator met continue kern uit de rij van eigenwaarden en eigenfuncties. IV.4. Thm 4.1 (Spoorformule voor de eigenwaarden van een positieve integraaloperator met continue kern). IV.5,6: Greense functies voor Sturm-Liouville problemen, geen onbegrensde operatoren.

18-5:  Spectraaltheorie voor normale kompakte operatoren (VIII.1,2). Banachruimte theorie: overzicht van niet behandelde onderwerpen.

1-6:  Geen college. Deadline voor het inleveren van huiswerk.

 

 

Huiswerk voor 16-2-2001

Huiswerk voor 23-2-2001

Huiswerk voor 2-3-2001.

Huiswerk voor 16-3-2001

Huiswerk voor 27-3-2001

Huiswerk voor 4-5-2001. Pagina 92 e.v.: 7,13,15+16,22,26,28,30,32,33,34,38,40,55.

Huiswerk voor 11-5-2001. Pagina 125 e.v.: 3,4,8,9,18.

Huiswerk voor 31-5-2001. Pagina 148 e.v.: 1,2,3,9,10,11,16.