Wiskundige Analyse 2

Periode: Najaar 2007
Docent: Joost Hulshof
Practicumbegeleiding: Maurits van der Meer
Blackboard: alleen om op te schrijven.
Alle informatie komt/staat op de webpagina die je nu bekijkt.
Literatuur: The way of analysis-Robert S. Strichartz

Tijdens de cursus wordt er 6 keer een set huiswerkopgaven gegeven.
Inleveren hiervan is VERPLICHT:
3 sets in de eerste periode.
Het eerste deeltentamen is alleen toegankelijk voor
diegenen die alle 3 de sets hebben ingeleverd.
Als alle 3 sets met een voldoende (v) gehonoreerd zijn,
dan levert dit 1 bonus punt voor het eerste deeltentamen.
Maximaal 1 onvoldoende (o) kan met een goed (g)
worden gecompenseerd.

3 sets in de tweede periode.
Het tweede deeltentamen is alleen toegankelijk voor
diegenen die alle 3 de sets hebben ingeleverd.
Als alle 3 sets met een voldoende (v) gehonoreerd zijn,
dan levert dit 1 bonus punt voor het tweede deeltentamen.
Maximaal 1 onvoldoende (o) kan met een goed (g)
worden gecompenseerd.


Het hele tentamen is alleen toegankelijk voor
diegenen die alle 6 de sets hebben ingeleverd.
Als alle 6 sets met een voldoende (v) gehonoreerd zijn,
dan levert dit 1 bonus punt voor het hele tentamen.
Maximaal 1 onvoldoende (o) kan met een goed (g)
worden gecompenseerd.


Hier staat een verhalend (en sterk aanbevolen) overzicht van de stof van
Wiskundige Analyse 1 zoals ik dat vroeger gaf. In dit overzicht
zie je hoe die stof aan de hand van Strichartz is behandeld. Een beschrijving
van wat we bij Wiskundige Analyse 2 gaan doen staat hier .


Zalen op maandag: Van 10 sept t/m 1 okt zaal R231 van 8 okt t/m 15 okt R223.

WEEK 36, COLLEGE: gedaan Banach Contractie Stelling
(was al gedaan bij WA1, maar zie ook 9.3.4), begin toepassingen in X=C([a,b]);
WEEK 36, WERKCOLLEGE: 1,2,3,4,5 van opgaven in Sectie 1 van WA2overzicht.pdf.
Van te voren doen voor het werkcollege: 1a,1b,4a,5a.
Inleverhuiswerk: wordt op werkcollege bekend gemaakt.
Van te voren doen voor college in week 37: lees Sectie 1 van WA2overzicht.pdf en lees Sectie 7.4.1 uit het boek.

WEEK 37, COLLEGE:
In elke $X$ volledige genormeerde ruimte zijn absoluut convergente reeksen convergent.
Voorbeelden: X=R en X=C([a,b]).
Verwisselen van sommen en integralen voor absoluut convergente reeksen in C([a,b]).
Toepassing: machtreeksen, [a,b] bevat in (-R,R), R convergentiestraal machtreeks.
limsupformule voor R.
WEEK 37, WERKCOLLEGE: (lees nog een keer 7.4.1).
Extra opgave: Laat zien dat $R$ niet verandert als de machtreeks term voor term gedifferentieerd of geprimitiveerd wordt.
4b,5b,6,7,9,8,10.
INLEVERHUISWERK: som 3 (inleveren op de volgende vrijdag bij Maurits. Van te voren doen voor college in week 38: lees Sectie 7.2.2.

WEEK 38, COLLEGE: Machtreeksen, secties 7.4.2, 7.4.4

WEEK 38, WERKCOLLEGE:

Bij afspraak is het limsup van een naar boven onbegrensde rij getallen gelijk aan oneindig.
Opgave 1: laat rechtstreeks zien dat als de n-demachts wortel uit |a_n| onbegrensd is,
de termen van de machtreeks voor geen enkele x (behalve x=0) naar nul gaan.
De machtreeks is dan dus alleen voor x=0 convergent.

Opgave 2: laat rechtstreeks zien dat als de n-demachts wortel uit |a_n| naar nul convergeert,
de machtreeks voor alle x convergent is.

Opgave 3: laat zien dat voor elke rij niet-negatieve getallen de limsup van de rij nul is
dan en slechts dan als de rij naar nul convergeert.


Opgave 4: N.a.v. opgave 8b uit Sectie 1 van WA2overzicht.pdf,
Laat f(y) een machtreeks zijn in y met convergentiestraal oneindig
en g(x) een machtreeks met convergentiestraal R.
Bewijs dat f(g(x)) een machtreeks is in x met convergentiestraal minstens gelijk aan R.

Opgave 5: Schrijf tan x als quotient van sin x en cos x.
Laat in detail zien waarom tan x voor x voldoende dicht bij 0
te schrijven is als machtreeks in x. Bereken de coefficienten
tot en met orde 5 op twee manieren. Hint: bekijk eerst 1/cos x
schrijf cos x = 1-y, met y een machtreeks in x, en
vul deze in in de meetkundige reeks met rede y.
Laat zien dat de resulterende machtreeks een positieve convergentiestraal heeft.

Uit het boek. 7.3.4, opgave 7. Pas dit toe op de reeks bovenaan
pagina 8 van WA2overzicht.pdf en concludeer dat deze reeks uniform convergeert.

Uit het boek 7.4.5. opgave 7 en 8. Geef bij 7 ook steeds R.

Uit het boek 11.2.4 opgave 7.


WEEK 39, COLLEGE: Machtreeksen afgesloten met
Sectie 7.4.4. In Thm 7.4.4 heb ik x_0 gelijk aan 0 genomen en het
produkt van f en g behandeld. In Thm 7.4.5 heb ik x_0 en x_1 allebei
gelijk aan 0 genomen, maar niet de aanname gemaakt dat x_1 gelijk is aan a_0.
TWEEDE INLEVERHUISWERK: Opgave 11 uit Sectie 1 en Opgaven 1,2,3 uit Sectie 1.2 van Wa2overzicht.pdf.
.
Daarna begin met Fourierreeksen.

WEEK 39, WERKCOLLEGE: Alsnog uit WA2overzicht.pdf Sectie 1.1 Opgave 5.
Daarna Fourierreeksensommen, Sectie 2.1 uit WA2overzicht.pdf.

WEEK 40, COLLEGE 's ochtends en 's middags .
Deze week geen werkcollege. Fourierreeksen, Hoofdstuk 12 uit Strichartz, lees zelf 12.1.
Gedaan: N-de Fouriersom via complexe vorm van de Fouriersom als convolutie van f met D_N.
Gaat beter met K_N die hoort bij gemiddelde van de eerst N Fouriersommen.
In dat geval uniforme convergentie als f continu en 2pi-periodiek is.
Nog niet gedaan: convergentie van N-de Fouriersom zelf.
Wel gedaan: inprodukten van functies en Pythagoras, alles reeel.
WA2overzicht.pdf bevat een nieuwe sectie 2.2. Opgaven 1 tot en met 4d vatten samen wat ik gedaan heb.
4fg vertaalt het inprodukt in inprodukt van de Fouriercoefficienten.
5 doet de uitbreiding naar stuksgewijs continu.
6 doet het Gibbs verschijnsel.

VANAF WEEK 41 MAANDAG 'S OCHTENDS WERKCOLLEGE EN 'S MIDDAGS COLLEGE


WEEK 41 WERKCOLLEGE: WA2overzicht.pdf, Sectie 2.2: 1,2,3,4 Boek Sectie 12.2.6: 4, 6, 11 (complex), 12 (complex).

DERDE INLEVERHUISWERK: Uit WA2overzicht.pdf, Sectie 2.1 Opgave 7. i
Gebruik maple indien nodig. Inleveren op 15 oktober bij Maurits.

WEEK 41/42 COLLEGE: COLLEGE WEEK 41
samenvatting voorafgaande, zie nieuwe sectie 2.2. Opgaven 1 tot en met 5.
convergentie van N-de Fouriersom als f continue en f' stuksgewijs continu.
nav 12.2.6.12: dubbele integralen en verwisselen integratievolgorde.
Lees zelf vast Sectie 6.1 en 15.1.1.
diff-eren onder het integraalteken, wanneer mag dat? Bewijs van Theorem 6.1.7.
begin met meer variabelen.
Lees zelf Sectie 3 uit WA2overzicht.pdf en de opgaven daarbij.

COLLEGE WEEK 42

WEEK43 DEELTENTAMEN.


WEEK44, COLLEGE OP MAANDAG: uit het boek 10.1.1 en 10.1.3.
Differentiaalrekening zonder partieel diff-eren
Produkt en kettingregel zonder partieel diff-eren
Verband met partieel diff-eren, richtingsafgeleiden
De rol van het inprodukt bij de definitie van gradient
schoolborden
WEEK44, WERKCOLLEGE op DINSDAG: Sectie 3 uit WA2overzicht.pdf.
NB Uit 2d en 2e samen haal je dat de matrixnorm ||A||
equivalent is met de standaardnorm op R^(mxn).


WEEK45, COLLEGE OP MAANDAG: H10 af tot 10.2.3 Lees vast 10.2.2.
schoolborden
WEEK45, WERKCOLLEGE op DINSDAG: verder met stof vorige week, 10.1.5: 1,6,7,10,13.

VIERDE INLEVERHUISWERK: 10.1.5, 11,15 (inleveren di 13-11).


WEEK46, COLLEGE OP MAANDAG: H10, hogere orde afgeleiden, de rol van de Hessiaan.
schoolborden
WEEK46, WERKCOLLEGE op DINSDAG: 10.2.4: 1,3,4,9. Sectie 3 af uit WA2overzicht.pdf.
Extra opgaven.
1. Laat zien dat voor elke nxn matrix A de matrix exp(A) gedefinieerd kan worden met
de machtreeks voor exp(z) met z vervangen door A. Bewijs dat de matrixwaardige
functie t -> exp(tA) differentieerbaar is en bereken zijn afgeleide naar t.

2. Laat A een symmetische matrix zijn. Beschouw de kwadratische functie
Q: x -> (Ax,x) op {|x|=1}. Bewijs dat maxima en minima van Q alleen in eigenvectoren
van A worden aangenomen. Hint: neem aan dat Q(x) op {|x|=1} in v maximaal is en dat
Av=av+bw met a en b in R, v en w onderling loodrecht, |v|=|w|=1, en b niet gelijk aan 0.
Bekijk het gedrag van Q(x) op de cirkel met straal 1 in het valk opgespannen door v en w.



WEEK47, COLLEGE OP MAANDAG: H10, Stelling van Taylor, de rol van de Hessiaan.
schoolborden
WEEK47, WERKCOLLEGE op DINSDAG: alle "matrix" sommen die nog stonden, dus
10.2.4: 3,4, uit Sectie 3 van WA2overzicht.pdf 3,4,5. Extra opgave 1 hierboven.
Verder 10.2.4: 15,16.

VIJFDE INLEVERHUISWERK: 10.2.4: 8, en de 3d versie van 9, zie onder (inleveren di 27-11).
10.2.4: 9, nu de 3 d versie, dus f(x,y,z)= g(rho,theta,phi), bolcoordinaten, (zie e.g. Example 5, sectie 14.9, page 1060)
Druk d/dx, d/dy en d/dz uit in rho, theta, phi, d/d rho, d/d theta en d/d phi,
zoals op het werkcollege gedaan voor poolcoordinaten in dimensie 2.
Leid de formule af voor de lapliciaan in bolcoordinaten (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian).


WEEK48, COLLEGE OP MAANDAG: H10 af, H13, Impliciete Functiestelling.
schoolborden
WEEK48 WERKCOLLEGE op DINSDAG: wat nog stond, plus Chapter 13 misc problems 41-50
uit het calculus boek (Edwards and Penny), dit.

WEEK49, COLLEGE OP MAANDAG: H13, Impliciete Functiestelling (vervolg), Lagrange methode.
schoolborden
WEEK49 WERKCOLLEGE op DINSDAG: 13.1.3: 4. 13.2.5: 2,3,10,12. 13.3.3. 4a,7.

WEEK50, COLLEGE OP MAANDAG: H13, Impliciete Functiestelling en variaties (slot), Lagrange methode.
schoolborden
WEEK50 WERKCOLLEGE op DINSDAG: van vorige keer, voor Lagrange, 13.9 uit calculus boek, bijvoorbeeld dit.